自旋在磁场中如何演化？《张朝阳的物理课》分析斯特恩-盖拉赫实验

原标题：自旋在磁场中如何演化？《张朝阳的物理课》分析斯特恩-盖拉赫实验

怎么借助斯特恩-盖拉赫实验装置制造出特定的自旋态？自旋态在磁场中会怎么演化？5月26日12时，《张朝阳的物理课》第一百四十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们复习了上一次直播课介绍的自旋的二维子空间及其上的态、算符的矩阵表示，然后推导了任意方向的自旋算符的本征态表达式，并通过斯特恩-盖拉赫实验介绍了怎么制造出特定的自旋态以及如何验证量子力学的假设。最后，张朝阳分析了自旋态在磁场中随时间的演化，得到了拉莫尔进动的结果。

复习斯特恩-盖拉赫实验 简述各个方向的自旋算符

在上一次直播课中，张朝阳介绍了斯特恩-盖拉赫实验。银原子经过加热会进入实验装置中，依照上一次直播课所建立的坐标系，银原子受到的力可以近似为

其中μz是银原子磁矩在z方向上的分量，k是z方向的单位矢量。

根据之前的介绍，银原子的平动运动可以用经典力学来近似分析。假设银原子的入射速度为v，在实验装置中所花费的时间为t，那么银原子水平飞过的路程为

假设力F导致银原子在z正方向具有的加速度为a，将其近似为常数，那么在时间t内，银原子在z方向的偏离为

其中m是银原子的质量。

在经典力学中，假设银原子的磁矩大小μ保持固定，那么由于出射时银原子的磁矩方向是任意的，则μz可以取到区间[-μ,μ]中的任何值，即银原子在z方向的偏离是连续取值的，这意味着银原子在实验装置后面的屏上会形成连续的分布。

然而，实验结果表明银原子只分布在关于x轴对称的两个分离的狭小区域上，这说明μz的取值只能是互为相反数的两个值。在现在的情况下，μz只能取互为相反数的两个值是由电子自旋导致的。

在上一次直播课介绍到，自旋态空间是一个二维的希尔伯特空间。考虑z方向的自旋算符Sz，它具有两个本征态|+〉和|-〉，满足

Sz是可观测量，如果对Sz进行了测量，那么只能得到±ћ/2这两个值之一，并且态会坍缩到对应的本征态。如果初始态是

那么测量Sz后得到ћ/2的概率为|α|^2，得到-ћ/2的概率为|β|^2。

在上一次直播课也介绍了自旋算符三个直角坐标分量的矩阵形式：

如果忽略其中的因子ћ/2，那么将会得到被称为“泡利矩阵”的三个矩阵：

有时也会将它们的下标x、y、z记为1、2、3。

Sx与Sy的本征态分别为

（张朝阳复习上一次直播课的内容）

推导任意方向的自旋本征态 分析斯特恩-盖拉赫实验结果

前面介绍了这么多，都是自旋态空间上的内容。而除了态空间，这里还需要接触到的一个空间是我们所处的三维位置空间，一般由直角坐标(x,y,z)描述，当然也可以用球坐标(r,θ,ϕ)来描述。在三维位置空间中，可以用矢量n来表示指向(θ,ϕ)的方向：

张朝阳介绍说，将n中的三个直角坐标基矢换成对应的泡利矩阵就可以得到表示n方向的自旋分量S_n=n·S的矩阵（相差常数ћ/2）：

在上一次直播课中，张朝阳直接写出了σ_n的本征矢量。而在这次直播课中，张朝阳介绍了求解本征矢量的过程。由于已经知道自旋分量的取值只能是±ћ/2，因此可以知道σ_n的本征值是±1。设σ_n对应于+1的本征矢量为

那么有

由此可以得到

移项可得

使用正弦、余弦的二倍角公式，可以得到

化简，就得到了

于是，S_n的正自旋的本征态为

忽略上式第二行括号外的因子，可以将|+〉_n取为

用列矢量的形式可以表示为

得到任意方向的自旋本征态之后，张朝阳回到了斯特恩-盖拉赫实验上来。银原子出射的时候自旋方向是随机的，因此经过实验装置后，银原子落到x轴上面的区域的概率与落到x轴下面的区域的概率相等，都是1/2。

假如将实验装置绕y轴旋转角度θ，保持原来的坐标架不动，那么此时装置测量的角动量分量为S_n，这里的n指向为(θ,0)。S_n的正本征值对应的本征态为

假如在此本征态对应的屏幕位置设置一个洞，使得处于|+〉_n态的银原子穿过这个洞而不会落在屏幕上，那么根据量子力学的测量假设，能够穿过这个洞的银原子都由于测量而坍缩在了态|+〉_n上。

在洞后再设置一个斯特恩-盖拉赫实验装置，测量Sz，那么银原子处于x轴上方的概率为(cos(θ/2))^2，处于x轴下方的概率为(sin(θ/2))^2。

当角度θ比较小时，银原子出现在上方的概率将会大于出现在下方的，这个结果与前面单个斯特恩-盖拉赫实验装置的结果不同。实验结果与这里的理论分析一致，从而该实验验证了量子力学的假设。

张朝阳还补充到，如果把入射银原子看成是光，那么第一个斯特恩-盖拉赫实验装置就相当于偏振片，将特殊“偏振”方向的银原子筛选出来。

（张朝阳分析斯特恩-盖拉赫实验）

构造哈密顿算符 分析自旋态的演化

课程接近尾声的时候，张朝阳突然告诉网友们，前面的分析忽视了非常重要的一点因素，那就是时间的演化。银原子经过实验装置是需要花费时间的，而在这个时间内银原子的态也会发生改变，那么前面这些分析还依然成立吗？带着这个疑问，张朝阳介绍了自旋态在磁场中的演化。

根据磁矩在磁场中具有的势能，可以得到磁矩μ在磁场中的哈密顿算符为

其中假设了磁场沿z方向，磁感应强度大小为B0。又因为磁矩正比于自旋，设比例常数为γ，换言之μz=γ*S_z，于是

其中用ω0表示了系数(-γ*B0)，它具有角频率的量纲。从上式可以知道，哈密顿算符与S_z可对易，因此|+〉和|-〉都是能量本征态，满足

设银原子进入磁场时(t=0)的初始自旋态为

这样假设是合理的，因为任何自旋态都可以在忽略一个整体相位因子的情况下通过选择适当的θ与ϕ表示成如上形式。上式表明初始态的自旋是指向(θ,ϕ)方向的。

为了研究态的演化，就需要用到薛定谔方程：

由于已经知道哈密顿算符的本征态是|+〉和|-〉了，从而可以直接得到

其中

分别是|+〉和|-〉对应的能量。将其代入态的表达式中可以得到

可见t时刻银原子的自旋指向为(θ,ϕ+ω0*t)，也就是说，银原子的自旋绕着z轴以角频率ω0旋转。这就是著名的拉莫尔进动。

另一方面，从这个结果可以看出，考虑了时间演化之后，银原子被测得处在|+〉与|-〉的概率都没有改变，因此前面关于斯特恩-盖拉赫实验的分析是不受影响的。

（张朝阳分析自旋态在磁场中的演化）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

一般朝向的自旋本征态的计算

电子自旋在磁场中的进动

磁场对电子自旋的Hamiltonian形式