分析球面波可以得到散射截面？《张朝阳的物理课》介绍散射的分波法

原标题：分析球面波可以得到散射截面？《张朝阳的物理课》介绍散射的分波法

可以借助球面波得到中心势场散射过程的散射截面吗？平面波怎么按球谐函数进行展开？

4月30日12时，《张朝阳的物理课》第一百四十期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们回顾了上一次直播课的内容，然后介绍中心势场散射问题的对称性，阐述应该使用球面波来进行分析。紧接着，张朝阳介绍了球坐标下的自由波函数特解为球贝塞尔函数与球谐函数的乘积，展示了如何将平面波展开成这些特解的叠加，并进一步通过分析球贝塞尔函数在无穷远处的渐近行为得到了入射平面波按球面波展开的渐近表达式。最后，张朝阳分析了中心势场不为零时球面波的散射情况，借助其中的相位偏移得到了散射截面的表达式。

回顾散射定态的渐近形式 求解平面波的球谐展开

课程一开始，张朝阳给网友们复习了上一次直播课介绍的内容。在分析散射问题时，考虑了具有确定能量的散射定态，并得到了如下形式的定态方程：

其中k与能量E的关系为

式中的m是粒子质量。

在考虑了向z轴正方向传播的平面波为入射波、沿径向向外的球面波为散射波之后，得到了散射定态在无穷远处的渐近形式：

其中(r,θ,ϕ)是以z轴正方向为极轴的球坐标的各个分量。复习到这里时，张朝阳补充了一点：由于我们只考虑中心势场，入射波为沿z轴的平面波，因此整个系统是绕z轴旋转对称的，上式的g(θ,ϕ)实际上是不依赖于ϕ的，从而上式可以写为

接着，张朝阳复习了上次直播课介绍的微分散射截面的概念，以及它与g(θ)的关系：

张朝阳再一次强调，在现实情况中粒子是以波包形式入射的，不过由于所有定态构成一个完备集，因此粒子的波包可以展开成定态的叠加。所以，只要我们求出了散射定态，一般情况下的散射问题也就同样能够被我们解决了。

就比如在一维无穷长阶梯势垒的问题中，我们求解了单一频率入射波的情况，知道了粒子会“渗入”势垒中再被反射出来，由此可以知道以波包形式入射的粒子也会先“渗入”势垒一定深度后再被反射出来。

（张朝阳复习上一次直播课的内容）

复习完这些内容之后，张朝阳介绍说，由于势场是中心势场，角动量是守恒的，如果入射粒子具有特定的角动量，那么它出射的时候也具有同样的角动量。从氢原子能级问题中可以知道，使用球坐标能够非常方便地把角动量部分给分离出来。

基于这一点，以及中心势场的球对称性，张朝阳选择在球坐标下分析问题，并将此做法称为“入乡随俗”，在什么场景就说什么话，遇到什么问题就用什么方法。

由于入射平面波对应的是势场不存在的情况下的解，为了将平面波分解成特定角动量的波函数的叠加，张朝阳求解了球坐标下的自由定态薛定谔方程。在自由情况下，定态薛定谔方程为

其中拉普拉斯算子为

其中下标θ的部分表示拉普拉斯算子中对角度求偏导数的那部分。由于旋转对称性，波函数不依赖于ϕ角，因此其中对ϕ的偏导数可以忽略。借助球谐函数的相关知识可以知道，不依赖于ϕ角的角动量本征态波函数正比于Y_{l,0}(θ)，它满足

因此，假如选取自由波函数的特解为f(r)Y_{l,0}(θ)，将其代入定态方程可知f(r)满足的方程为

上式可以化简为

如果令ρ=kr，那么这个方程可以改写为

这个方程是物理上非常常见的一类方程，它的解已经被数学家们研究得很透彻了。它的解被称为球贝塞尔函数，记为j_l(ρ)，它可以由贝塞尔函数J_α(ρ)表示为

根据这里求出来的特解，e^{ikz}可以展开为

由于球谐函数满足正交关系：

所以

借助这个结果可以将系数c_l求出来。为了避免陷入繁琐的数学计算，张朝阳直接引用了结果

于是有

这就是平面波按角动量本征态展开的结果。

（张朝阳得到平面波的球谐展开式）

推导球贝塞尔函数的渐近形式 分析自由情况下的相位偏移

根据上一次直播课的结果，散射波的渐近形式由e^{ikr}/r表征，因此，为了更好地进行对比，考虑j_l(kr)在无穷远处的渐近情况。根据j_l(ρ)的表达式，有

由于ρ=kr，当r趋向于无穷大时，ρ也趋向于无穷大，因此可以忽略上式第二行最右边大括号里边正比于1/ρ^3的项。对于多次求导，也可以进行类似的近似。这样的做法就等效于d/dρ只作用在三角函数上，因此其中出现在分母位置的ρ都可以被移到导数前面，这样就得到

正弦函数的一阶导数为

借助下图中的几何关系

得到cos(ρ)=-sin(ρ-π/2)，于是有

张朝阳强调，这个式子也可以通过使用三角函数的一些恒等式来验证。

多次使用这个结果，可以得到

于是，当r足够大时，有

根据上一次直播课的介绍，可以知道上式最后的

是沿径向朝原点传播的球面波，而

是沿径向朝无穷远处传播的球面波。从表达式可以看出，这两个波的相位差为lπ。这个结果表明自由平面波可以看成是一系列球面波的叠加，其中从无穷远处朝原点传播的球面波会被原点“反射”出来，从渐近行为来看，反射波相对于入射波存在大小为lπ的相位偏移。

（张朝阳分析自由平面波被原点“反射”导致的相移）

求解中心势场下的无穷远渐近解 分析相位偏移得到散射截面

前面介绍到有势场时的定态方程为

这个方程可以用分离变量法来求解，借助旋转对称性，可以知道ψ_k的角向部分由Y_{l,0}构成。当r足够大时，径向部分的解为

上式约等号的右边部分，减号左右两项分别表示向原点传播、向无穷远传播的球面波。由于角动量守恒，处在同一角动量的粒子数是不变的，因此在同一个l取值上，向内传播的粒子流密度必定等于向外传播的粒子流密度，所以

于是可以将B_l/A_l参数化为

这样就有

对比前文中平面波展开式的渐近形式，可以知道上式最主要的区别是反射波多了相位2δ_l，这个相位偏移来自于中心势场的影响。在没有势场存在的时候，具有特定角动量的球面波经过原点“反射”之后会出现相位偏移lπ；当有中心势场存在的时候，势场的影响表现在反射波的相位上。

这一点与一维情况类似。张朝阳补充解释说，之所以使用2δ_l而不是δ_l，是因为从物理上来看球面波向内传播以及从原点处反射出来，一共受到两次势场的影响。

在我们考虑的散射过程中只有平面波能提供入射的球面波分量，与前面平面波球谐展开的渐近形式的系数对比可以知道，具有特定角动量的定态解的径向波函数渐近形式必定是

由于散射定态的渐近形式必须包含平面波e^{ikz}，借助e^{ikz}的球谐展开式，可以把散射定态的球谐展开式的系数确定下来，最终得到

考虑到

由此可以得到当r足够大时，有

于是可以得到

总的散射截面为

考虑到球谐函数的正交关系：

于是可以得到

这就是用相移表示的总的散射截面。

（张朝阳得到用相移表示的散射截面公式）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。