在实例中怎么使用分波法？《张朝阳的物理课》分析刚球势场的散射

原标题：在实例中怎么使用分波法？《张朝阳的物理课》分析刚球势场的散射

在实际的中心势场散射问题中该如何使用分波法？量子刚球势散射截面为什么大于经典刚球势散射截面？5月5日12时，《张朝阳的物理课》第一百四十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们简要地复习了上一次直播课的内容，然后以刚体球对粒子流的散射为例展示了分波法的使用方式。在低速近似下，张朝阳发现量子刚球势散射截面大约是经典刚球势散射截面的四倍。最后，张朝阳分别通过定性分析与实际计算验证了角动量非零部分的波在低速刚球势散射问题中可以被忽略。

简要复习分波法 简短分析总散射截面

课程一开始，张朝阳给网友们复习了散射截面的概率。张朝阳解释说，散射截面具有概率的意义，比如总散射截面正比于粒子被散射的概率，而微分散射截面正比于粒子朝特定角度散射的概率（密度）。如果希望从散射截面得到单位时间内的散射粒子数，那么只需要将粒子入射流密度与散射截面相乘即可。

复习完散射截面的概念之后，张朝阳开始给网友们复习分波法。在上一次直播课中，张朝阳介绍了朝z轴正方向入射的平面波e^{ikz}按照角动量本征态进行展开的结果：

其中r与θ是球坐标下的位置坐标分量。在这一次直播课中张朝阳继续沿用上一次直播课的符号ρ=kr。如果考虑无穷远处的渐近行为，忽略整体的相位因子，那么有

这个结果表明，从无穷远处来看，向z轴正方向自由传播的平面波可以看成是一系列具有特定角动量的球面波的传播，其中第l分波的出射球面波与入射球面波相差相位lπ。

有势场存在的时候，出射球面波与入射球面波的相位差异一般不再等于lπ了，而是在lπ的基础上叠加了一个相位改变量，势场对球面波的影响反映在了这个相位改变量上。因此，当有势场存在的时候，将e^{ikz}展开式中的j_l(kr)换成f_l(r)即可得到散射定态，这里的f_l(r)是满足径向的定态薛定谔方程的解。通过分析f_l(r)的渐近行为，可以得到散射定态如下的渐近形式：

其中g(θ)为

上式中的δ_l来源于前面提到的相位改变量，详情请参考上一次直播课的讲解。由上式可以得到总的散射截面为

这个结果表明散射截面不依赖于相位改变量的符号。

张朝阳强调，分波法的本质与以前通过平面波来分析量子隧穿是类似的，如果得到了平面入射波情况下的解，那么一般的解可以通过平面波解叠加来得到。在分波法这里，只是使用了球面波来分解而非平面波，但是本质是一样的。

（张朝阳给网友们复习上一次直播课的内容）

求解刚球势l=0分波 低速近似得到散射截面

在非平凡的散射例子中，最简单的应该就是粒子流被刚体球的散射了。假设刚体球的半径为r0，刚体球被固定在坐标原点上，对入射粒子来说，刚体球可以被看做一个势场，在rr0的区域上，势U(r)=0。为简单起见，张朝阳考虑了入射波的波数k满足kr0<<1的情况。在这种情况下，入射平面波的波长远大于刚体球的半径，粒子的速度很低。

根据上一次直播课的内容可以知道，散射定态的薛定谔方程可以被改写为

借助分离变量法并考虑到旋转对称性，可以得到具有特定角动量的解为ψ_k=f_l(r)Y_{l,0}(θ)，其中f_l(r)满足

由于在r

在r>r0的区域上，势U(r)=0，于是f_l(r)满足的方程可以被写为

张朝阳先考虑了l=0的情况，这样的话上述方程简化为

这个方程张朝阳已经求解过很多次了。使用比奈变换，令H0(r)=r*f0(r)，那么可以得到

这个方程的通解为

于是

对比自由平面波的l=0分量，其中的径向部分在无穷远处满足

注意到使用分波法时l=0分量的径向波函数渐近形式为（注：由于只关注相位，所以下式忽略了整体的系数）

对比前面三个式子的相位立即可以得到

怎么把A/B确定下来呢？为此，张朝阳考虑了f0(r)满足的边界条件：

所以

根据A/B与δ0的关系立即得到

这样就可以得到

在上式第二行的推导中使用了等式

由g0(θ)立即可以得到相应的微分散射截面为

上式最后一步的约等号是因为kr0<<1，因此sin(kr0)约等于kr0。有了上式这个结果，直接计算就可以得到角动量为0的分波的散射截面为

张朝阳强调，在经典力学中，能被刚性球散射的粒子必然是从刚球正前方入射的，因此经典刚球势的散射截面是πr0^2。而在低速近似下，刚球势的第0分波的散射截面是经典刚球势散射截面的四倍。因为当入射波的波长远大于球的半径时，入射波在刚性球附近会发生衍射，这就导致被散射的粒子不止刚球势正前方的那部分粒子。

（张朝阳计算第0阶分波的散射截面）

定性分析l>0的分波 以l=1为例验证近似是否成立

张朝阳在低速近似下求出了第0分波的散射截面，结果表明第0分波的散射截面是经典刚球势散射截面的四倍。如果还考虑其他分波的散射截面，那总的散射截面岂不是变得更大了？事实上，在低速情况下，l>0的分波的散射截面可以忽略不计。为了说明这一点，张朝阳向网友们展示了各阶球贝塞尔函数的图像：

从函数图像可以看出，当l>0时，j_l(kr)在r=0处的函数值都为零，并且j_l(kr)满足r>r0区域上的径向薛定谔方程

又因为kr0远远小于1，因此满足上述方程并且同时满足边界条件f_l(r0)=0的径向波函数f_l(r)必定约等于j_l(kr)，于是，刚球势散射定态径向波函数f_l(r)在无穷远处的渐近形式约等于j_l(kr)在无穷远处的渐近形式。球贝塞尔函数j_l(kr)是自由平面波第l分波的径向波函数，其在无穷远处的渐近形式不包含额外的相位移动，于是f_l(r)在无穷远处的渐近形式的相位移动δ_l约等于0。更严格的分析表明当l>0时，有

其中n是依赖于l的正整数，满足n>2。由于kr0远小于1，因此相比于第0分波导致的散射截面，l>0的各个分波导致的散射截面可以忽略不计。

为了让上述定性分析更有说服力，张朝阳考虑了l=1的情况。先不显式地把l替代为1，径向薛定谔方程为

在上一次直播课中介绍过上式的一个解为球贝塞尔函数j_l(ρ)=j_l(kr)，但是事实上这个方程还存在另一个与j_l(ρ)线性无关的解，它被称为球诺伊曼函数，用h_l(ρ)表示（注：在一般的教科书中会将球诺伊曼函数记为y_l(ρ)或者n_l(ρ)），球贝塞尔方程的通解可以被写为

由于球诺伊曼函数在ρ趋向于零时趋向于无穷大，因此在包含ρ=0的区间上求解球贝塞尔方程时都会直接忽略球诺伊曼函数。在求刚球势散射定态的情况下不需要考虑ρ=0的函数值，因此通解必须考虑上球诺伊曼函数。考虑到l=1，以及相应的球贝塞尔函数与球诺伊曼函数为

忽略整体的常数的因子，可以把径向波函数写为

考虑无穷远处的渐近情况，可以得到

另一方面，考虑了相移并且忽略整体的常数因子后的径向波函数为

将其与f1(r)的渐近形式对比可得

其中最后一步约等是因为δ1远小于1。

设ρ0=k*r0，那么根据边界条件，有

所以

考虑到ρ0远小于1，因此对于上式最右边的分母有

对于分子，借助泰勒展开可以得到

于是有

这个结果印证了前面使用定性分析得到的结果。由上式可以得到l=1分波的散射截面为

可见，l=1阶分波的散射截面确实是远小于l=0阶的。

（张朝阳计算l=1阶分波的散射截面）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下：

径向方程的一般解

分波法的本质

低速刚球散射模型